数列是非常非常有意思的一个东西，高斯一生三分之一的思考都与数列有关，数列是数学分析与数论的综合体，是整数域问题的集大成者，当前高考已淡化数列，将数列踢出了压轴题，唯一有难度的就只有初等的数列放缩（即数列极限）与一点点超纲内容，不过在不考虑时间的情况下，用初等方法都可以做出来。本文的目的在于介绍方法，整理思想，让读者明白数列并不是那么简单。

一.（常规方法）

本文介绍的是整数系方程递推公式和线性多阶递推公式

1.整数系方程递推公式的明显特征是

注意：在通过递推公式求通项公式时如果使用构造法，为了辨别其为哪一种模型，一般把a（n+1）与a（n）分开，并且把其中一项的系数定为一，方便计算（有点类似于化学计算的定系数为1的思想）。

如果使上图为整数系方程递推的话，那么f（n）为整数系方程，一般来说，一次函数最为常见，二次函数可能出现，作为压轴题，三次函数高中不会出现，先从一次函数说起，在这里尤其注意当f（n）为常数时，这种模型是经常考察，作为常见。

1.f（n）=cn+b

一次那少加了个中括号

注意，只是改变了原式的结构，变为等比形式的线性函数结构

2.f（n）=bn^2+cn+d

由以上两种情况，我们可以发现an+f（n）前系数，也就是构造出的数列公比就是原式中an前系数，这就是为什么要进行之前的步骤原因

由这个思路，其实可以看出使用构造等比数列是可以解决整数系方程递推问题的

当然，方法很多，这是通法中的一种

那你有没有想过，在使用待定系数法时，解方程是能把系数解完还是解不完呢，这个问题，实质上就是整数系方程递推和线性n阶递推的区分所在，整数系的答案是一定，n阶递推是不一定（如果有解不出来的，那是复变函数的内容，竞赛都不会考）

二.n阶线性递推

形如a（n+k）=ba（n+k-1)+ca(n+k-2)+......+d

的递推关系被称为n阶线性递推

一般性的考试就是最普通的一阶（加个常数）

这个问题的解决方案太多了

细心的同学可能会发现，这就是前面讲的整数系方程问题，所以这种类型是两种概念的交汇点，所以解决方案这么多

二阶线性递推

对于这种，我们的解决方案仍是构造等比数列，不过，其过程并不顺利，因为需要构造两组等比数列，其理论确实比较复杂，这里，我引用我的一道习题说明

做这本书让我少活了很多年

会告诉你这其实是特征方程的根吗

做到这个地方，很多同学开始怀疑自己是否出错而倒回去验算，其实，正因为出现了两组解，此问题才能得到解决问题

所以说，对于二阶递推过程都如此繁琐，三阶及以上的那是更不用说的，不过，我不希望这个话题到此结束，所以，本篇从标题上命名为前篇

总结一下，对于这两类递推类型，解决的中心就是构造等比数列，有常数项的是极少数，二阶以上含常数的是极难的问题，所以说呢，这个思路明显落后了。不出意外，中篇马上就会发，会给读者一个全新的视野与思路去应对这种问题。最后说一点吧，本人现在用的资料是叫提分宝典，因为放假忘带学校的一轮资料了，这本书很有难度，据悉是很多一线城市学生用的书。一般人还是放弃这种东西吧，没必要。